题目内容

已知抛物线y=x2-(m+3)x+
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(m+1).
(1)小明发现无论m为何值时,抛物线总与x轴相交,你知道为什么吗?请给予说明.
(2)如图,抛物线与x轴的正半轴交于M,N两点,且线段MN的长度为2,求此抛物线的解析式.
(3)如图,(2)中的抛物线与y轴交于点A,过点A的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点B,与抛物线的对称轴交于点D,点C为抛物线的顶点.问在线段AB上是否存在一点P,过点P精英家教网作x轴的垂线交抛物线于点E,使四边形DCEP为平行四边形?若存在,请求出该平行四边形的面积;若不存在,说明理由.
分析:(1)运用判别式进行判断即可;
(2)设M(x1,0),则N(x2,0),由根与系数关系得x1+x2=m+3,x1•x2=
3
2
(m+1),再由|x1-x2|=2,两边平方,将两根关系代入求m的值;
(3)存在.根据抛物线解析式求A点坐标及顶点C的坐标,确定直线y=x+b的解析式,再求D点坐标,得到CD的长,设过P点的直线为x=n,分别代入直线、抛物线解析式,可求P、E两点的纵坐标,表示线段PE的长,根据PE=CD,列方程求n的值,再求平行四边形的面积.
解答:解:(1)∵y=x2-(m+3)x+
3
2
(m+1)的判别式为
△=[-(m+3)]2-4×
3
2
(m+1)=m2+3>0,
∴无论m为何值时,抛物线总与x轴相交;

(2)设M(x1,0),则N(x2,0),
∵x1+x2=m+3,x1•x2=
3
2
(m+1),|x1-x2|=2,
∴两边平方,得(x1-x22=4,
即(x1+x22-4x1•x2=4,
将两根关系代入,得(m+3)2-4×
3
2
(m+1)=4,
解得m=±1,
当m=-1时,x1•x2=
3
2
(m+1)=0,不符合题意,舍去,
∴m=1,y=x2-4x+3;

(3)存在.
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴A(0,3),C(2,-1),
∴直线AB:y=x+3,D(2,5),
则CD=5-(-1)=6,
设过P点的直线为x=n,
则P(n,n+3),E(n,n2-4n+3),
∴PE=(n+3)-(n2-4n+3)=-n2+5n,
当四边形DCEP为平行四边形时,PE=CD,
即-n2+5n=6,解得n=2或3,当n=2时,PE与CD重合,舍去,
当n=3时,?CDPE的面积=(-n2+5n)×(3-2)=6.
点评:本题考查了二次函数的综合运用.关键是根据抛物线与x轴的交点横坐标和根与系数的关系,列方程求待定系数m的值.
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