题目内容
【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=
，求BD和BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BD=2；BC=
．
【解析】试题分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以证明三角形相似，由相似三角形对应边成比例来求．
试题解析：解：（1）连接OC．∵AE⊥DC，∴∠E=90°．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠BAC．
又∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E=90°，∴DC是⊙O的切线．
（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，∴△DCO∽△DEA，∴ 
，∴
，∴
，∴BD=2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=∠ACB=90°．∵∠EAC=∠BAC，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，∴
，∴
，∴AC2=
．由勾股定理得：BC=
=
=
．
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