Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

（1）作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；

（2）下列结论正确的是：

① BD平分∠ABC；② AD=BD=BC；③ △BDC的周长等于AB+BC； ④ D点是AC中点；

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①②③.

【解析】

根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案,（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可.

(2) 由在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC与∠C的度数,又由AB的垂直平分线是DE,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD=BD,继而求得∠ABD的度数,则可知BD平分∠ABC,可得△BCD的周长等于AB+BC,又可求得∠BDC的度数，,求得AD=BD=BC,则可求得答案,注意排除法在解选择题中的应用．

(1)

(2) ∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,

∴∠ABC=∠C=72°,

∵AB的垂直平分线是DE,

∴AD=BD,

∴∠ABD=∠A=36°,

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°=∠ABD,

∴BD平分∠ABC,故①正确,

∴△BCD的周长为:BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故③正确；
∵∠DBC=36°,∠C=72°,

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,

∴∠BDC=∠C,

∴BD=BC,

∴AD=BD=BC,故②正确；
∵BD＞CD,

∴AD＞CD,

∴点D不是线段AC的中点,故④错误,

故答案为: ①②③.