Question

如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）
（1）当t=6s时，∠POA的度数是______；
（2）当t为多少时，∠POA=120°；
（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

（1）设∠POA=n°，则

AP

=6π=

nπ×6

180

，
∴n=180．
即∠POA的度数是180．
故答案为180；

（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的

1

3

（图中P₁处）或

2

3

（图中P₂处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的

1

3

时，π•t=

1

3

•2π•6，
解得t=4；
当点P运动的路程为⊙O周长的

2

3

时，π•t=

2

3

•2π•6，
解得t=8；
∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；

（3）分两种情况：
①当∠POB=90°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

（图中P₁处）或

3

4

（图中P₂处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的

1

4

时，π•t=

1

4

•2π•6，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的

3

4

时，π•t=

3

4

•2π•6，
解得t=9．
∴当点P运动的时间为3s或9s时，△POB为直角三角形；
②当∠OPB=90°时，如图，（图中P₃处）或（图中P₄处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动P₃处时，连接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等边三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=

1

6

•2π•6，
解得t=2；
当点P运动P₄处时，连接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等边三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-

1

6

）•2π•6，
解得t=10．
∴当点P运动的时间为2s或10s时，△POB为直角三角形．
综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．