Question

如图所示，已知抛物线的对称轴为直线x=4，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A、C坐标为（2，0）、（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点P，使以PC为直径的圆过B点，求P的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，x轴上是否存在点E，使得△COE与△PBC相似？若存在，求出E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式是y=a（x-4）²+b，
根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是：y=x²-2x+3；

（2）设点B坐标为B（a，0），则=4（抛物线对称轴的表示），
解得a=6，
∴点B（6，0），
又∵点C坐标为C（0，3），PC为直径的圆过B点，
∴过P作PE⊥x轴，则△PBE∽△BCO，

∴===2，
∴设点P的坐标为（m，n），
则n=2（m-6）①，
又点P在抛物线上，
∴n=m²-2m+3②，
①②联立解得m₁=10，m₂=6（舍去），
∴n=2（10-6）=8，
∴点P的坐标为P（10，8）；

（3）∵PE⊥x轴，
∴在Rt△PBE中，PB=4，
在Rt△OBC中，BC==3，
设点E坐标为（x，0），
∵△COE与△PBC相似，
∴①若CO与PB是对应边，则=，
解得|x|=，
∴x=±，
②若CO与BC是对应边，则=，
解得|x|=4，
∴x=±4，
∴在x轴上存在点E，使得△COE与△PBC相似，点E坐标为E（±，0），E（±4，0）．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）以PC为直径，根据直径所对的圆周角是直角可得PB⊥BC，然后求出点B的坐标为（6，0），过点P作PE⊥x轴，则△PBE与△BCO相似，根据相似三角形的对应边成比例得出PE与BE的关系，然后设出点P的坐标为（m，n），利用边的关系整理，然后再代入抛物线解析式求解即可得到点P的坐标；
（3）先利用勾股定理求出PB、CB的长度，再根据对应边不同分两种情况利用相似三角形对应边成比例列比例式计算．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，圆的直径所对圆周角是直角的性质，函数图象交点的求法，以及相似三角形对应边成比例的性质，（3）中注意要根据对应边的不同进行分情况讨论，避免漏解．