Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设

AB

BC

=k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．

（2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED²=GD•CD
∴x²=ab，
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BCF，
于是：

AF

AE

=

BF

BC

，即

a

x

=

b-a

2x

，得b=3a．
所以x²=ab=3a²，因此x=

3

a，
于是k=

AB

BC

=

b

2x

=

3a

2 3 a

=

3

2

．