Question

如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．
（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）点在抛物线上，理由见解析

解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，
．
点在抛物线上，将的坐标代入
，得：  解之，得：
抛物线的解析式为：．
（2）
抛物线的对称轴为，
．
连结，

，，
又，
，
．
（3）点在抛物线上．
设过点的直线为：，
将点的坐标代入，得：，
直线为：．
过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，
将代入，得：．
点的坐标为，
当时，，
所以，点在抛物线上．
（1）根据⊙O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案；
（2）先利用配方法求出顶点坐标，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；
（3）先求出直线CD的解析式，即可得到点P的坐标，从而可以判断点是否在抛物线上．