题目内容

【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,△ABD和△AFD关于直线AD对称,∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG.
(1)求∠DFG的度数;
(2)设∠BAD=θ, ①当θ为何值时,△DFG为等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵AB=AC,∠BAC=100°,

∴∠B=∠C=40°.

∵△ABD和△AFD关于直线AD对称,

∴△ADB≌△ADF,

∴∠B=∠AFD=40°,AB=AF∠BAD=∠FAD=θ,

∴AF=AC.

∵AG平分∠FAC,

∴∠FAG=∠CAG.

在△AGF和△AGC中,

∴△AGF≌△AGC(SAS),

∴∠AFG=∠C.

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,

∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.

答:∠DFG的度数为80°


(2)解:①当GD=GF时,

∴∠GDF=∠GFD=80°.

∵∠ADG=40°+θ,

∴40°+80°+40°+θ+θ=180°,

∴θ=10°.

当DF=GF时,

∴∠FDG=∠FGD.

∵∠DFG=80°,

∴∠FDG=∠FGD=50°.

∴40°+50°+40°+2θ=180°,

∴θ=25°.

当DF=DG时,

∴∠DFG=∠DGF=80°,

∴∠GDF=20°,

∴40°+20°+40°+2θ=180°,

∴θ=40°.

∴当θ=10°,25°或40°时,△DFG为等腰三角形;

②当∠GDF=90°时,

∵∠DFG=80°,

∴40°+90°+40°+2θ=180°,

∴θ=5°.

当∠DGF=90°时,

∵∠DFG=80°,

∴∠GDF=10°,

∴40°+10°+40°+2θ=180°,

∴θ=45°

∴当θ=5°或45°时,△DFG为直角三角形


【解析】(1)由轴对称可以得出△ADB≌△ADF,就可以得出∠B=∠AFD,AB=AF,在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C,就可以求出∠DFG的值;(2)①当GD=GF时,就可以得出∠GDF═80°,根据∠ADG=40+θ,就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论;当DF=GF时,就可以得出∠GDF=50°,就有40°+50°+40°+2θ=180°,当DF=DG时,∠GDF=20°,就有40°+20°+40°+2θ=180°,从而求出结论; ②有条件可以得出∠DFG=80°,当∠GDF=90°时,就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论,当∠DGF=90°时,就有∠GDF=10°,得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论.

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