题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
【答案】(1)当t=1时,AD=AB,AE=1;
(2)当t=或 或 或 时,△DEG与△ACB相似.
【解析】试题分析:(1)根据勾股定理得出AB=5,要使AD=AB=5,∵动点D每秒5个单位的速度运动,∴t=1;(2)当△DEG与△ACB相似时,要分两种情况讨论,根据相似三角形的性质,列出比例式,求出DE的表达式时,要分AD<AE和AD>AE两种情况讨论.
试题解析:
(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4, ∴AB==5.
∵AD=5t,CE=3t, ∴当AD=AB时,5t=5,即t=1;
∴AE=AC+CE=3+3t=6,DE=6﹣5=1.
(2)∵EF=BC=4,G是EF的中点, ∴GE=2.
当AD<AE(即t<)时,DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t,
若△DEG与△ACB相似,则或 ,
∴或, ∴t=或t=;
当AD>AE(即t>)时,DE=AD﹣AE=5t﹣(3+3t)=2t﹣3,
若△DEG与△ACB相似,则或 , ∴或,
解得t=或t=;
综上所述,当t=或 或 或 时,△DEG与△ACB相似.
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