题目内容
已知一次函数y=mx+2m+8与x轴、y轴交于点A、B，若图象经过点C（2，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，在△OAB边上找一点E，使得△DCE构成等腰三角形，求点E的坐标；
（3）点F是线段OB（不与点O、点B重合）上一动点，在线段OF的右侧作正方形OFGH，连接AG、BG，设线段OF=t，△AGB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（1）求一次函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，在△OAB边上找一点E，使得△DCE构成等腰三角形，求点E的坐标；
（3）点F是线段OB（不与点O、点B重合）上一动点，在线段OF的右侧作正方形OFGH，连接AG、BG，设线段OF=t，△AGB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
分析：（1）将C坐标代入一次函数解析式中求出m的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据题意画出相应的图形，根据图形找出所有满足题意E的坐标即可；
（3）分两种情况考虑：①当0＜t＜3时，如图1所示；由四边形OFGH是正方形，利用正方形的边长相等得到OF=OH=FG=GH=t，进而确定得到AH=BF=OB-OF=6-t，由S△ABG=S△AOB-S△FBG-S△AHG-S正方形，即可列出关系式；②当3＜t＜6时，如图2所示，同理由S△ABG=S△FBG+S△AHG+S正方形-S△AOB列出关系式．
（2）根据题意画出相应的图形，根据图形找出所有满足题意E的坐标即可；
（3）分两种情况考虑：①当0＜t＜3时，如图1所示；由四边形OFGH是正方形，利用正方形的边长相等得到OF=OH=FG=GH=t，进而确定得到AH=BF=OB-OF=6-t，由S△ABG=S△AOB-S△FBG-S△AHG-S正方形，即可列出关系式；②当3＜t＜6时，如图2所示，同理由S△ABG=S△FBG+S△AHG+S正方形-S△AOB列出关系式．
解答：
解：（1）把点C（2，4）代入一次函数y=mx+2m+8得：2m+2m+8=4，
解得m=-1，
则一次函数解析式为y=-x+6；
（2）点E在OB上时，E1（0，2），E2（0，6）；
作出CD的垂直平分线，交直线AB于E4，交x轴于E3，如图3所示，
可得出点E在OA上时，E3（1，0）；
点E在AB上时，E4（1，5）；
过E5作E5M⊥CD，△E5MC为等腰直角三角形，
∵E5C=CD=2，
∴E5M=MC=
E5C=
，
∴E5（2-
，4+
）
同理E6（2+
，4-
）；
（3）分两种情况考虑：
①当0＜t＜3时，如图1所示；
∵四边形OFGH是正方形，
∴OF=OH=FG=GH=t，AH=BF=OB-OF=6-t，
则S△ABG=S△AOB-S△FBG-S△AHG-S正方形=18-
t（6-t）-
t（6-t）-t2=18-6t；
②当3＜t＜6时，如图2所示，同理得到S△ABG=S△FBG+S△AHG+S正方形-S△AOB=6t-18．
解：（1）把点C（2，4）代入一次函数y=mx+2m+8得：2m+2m+8=4，
解得m=-1，
则一次函数解析式为y=-x+6；
（2）点E在OB上时，E1（0，2），E2（0，6）；
作出CD的垂直平分线，交直线AB于E4，交x轴于E3，如图3所示，
可得出点E在OA上时，E3（1，0）；
点E在AB上时，E4（1，5）；
过E5作E5M⊥CD，△E5MC为等腰直角三角形，
∵E5C=CD=2，
∴E5M=MC=
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| 2 |
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∴E5（2-
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同理E6（2+
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（3）分两种情况考虑：
①当0＜t＜3时，如图1所示；
∵四边形OFGH是正方形，
∴OF=OH=FG=GH=t，AH=BF=OB-OF=6-t，
则S△ABG=S△AOB-S△FBG-S△AHG-S正方形=18-
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②当3＜t＜6时，如图2所示，同理得到S△ABG=S△FBG+S△AHG+S正方形-S△AOB=6t-18．
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，正方形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，画出相应的图形是本题的突破点．
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