Question

已知：四边形中，对角线的交点为，是上的一点，过点作于点，、交于点．

（1）如图1，若四边形是正方形，求证：；
（2）如图2，若四边形是菱形，．探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若四边形是等腰梯形，，且．结合上面的活动经验，探究线段与的数量关系为             ．（直接写出答案）．

Answer 1

（1）通过证明△AOF≌△BOE，得OE＝OF （2）证明OF：OE＝AO：OB，AO：OB＝tan60°＝得OF＝OE  （3）OF＝tan（α－45°）OE或OF＝tan（135°－α）OE

试题分析：1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB．
∵AC⊥BD，AG⊥BE，∴∠FAO＋∠AFO＝90°，∠EAG＋∠AEG＝90°，
∴∠AFO＝∠BEO．
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°∴△AOF≌△BOE．∴OE＝OF．        
（2）OF＝OE          
∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC＝120°
∴AC⊥BD，∠ABO＝60° ∴∠FAO＋∠AFO＝90°．
∵AG⊥BE，∴∠EAG＋∠BEA＝90°．∴∠AFO＝∠BEO  又∵∠AOF＝∠BOE＝90°
∴△AOF∽△BOE．
∴OF：OE＝AO：OB．∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，∴AO：OB＝tan60°＝．
∴OF＝OE                      
（3）OF＝tan（α－45°）OE或OF＝tan（135°－α）OE
点评：本题考查全等三角形和正方形、菱形、等腰梯形，解决本题的方法是熟悉全等三角形的判定方法和正方形、菱形、等腰梯形的性质