Question

已知方程组

x2+y2=m x+y=2

（1）当m取何值时，方程组有两个不相同的实数解；
（2）若x₁、y₁；x₂、y₂是方程组的两个不同的实数解，且|x₁-x₂|=

3

|y₁y₂|，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把x+y=2变形代入x²+y²=m，再根据一元二次方程根的判别式即可解答；
（2）将方程组消元，转化为关于x、y的一元二次方程，利用根与系数的关系解答．

解答：解：（1）把x+y=2变形为y=2-x，
代入①得x²+（2-x）²=m，
整理得2x²-4x+（4-m）=0，
△=（-4）²-4×2×（4-m）=-16+8m，
故-16+8m＞0，
即m＞2时方程组有两个不相同的实数解．
（2）由于原方程组中的两个方程为“对称式”，
∴x₁、x₂和y₁、y₂分别为方程2x²-4x+（4-m）=0和方程2y²-4y+（4-m）=0的两个根，
∵|x₁-x₂|=

3

•|y₁y₂|，
∴

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•|

4-m

2

|，
两边平方得：（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3×

16+m2-8m

4

，
整理得3m²-32m+64=0，
解得m=

8

3

或m=8，
故m=

8

3

或8．

点评：解答此题将方程组转化为一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系建立起m与两根之间的关系进行解答．