Question

【题目】对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务；
（1）【尝试】①当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为
（2）②判断点A是否在抛物线E上；
（3）③求n的值．
（4）【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ．
（5）【应用】
①二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+3和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
②以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上；若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【答案】
（1）（1，﹣2）
（2）

解：∵x=2时，y=t（4﹣6+2）+（1﹣t）（﹣4+4）=0，

∴点A（2，0）在抛物线E上

（3）

解：将（﹣1，n）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），

得n=t（1+3+2）+（1﹣t）（2+4）=6，

∴n的值为6

（4）A（2，0）和B（﹣1，6）
（5）

解：①不是．

∵将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，得到y=﹣6≠6，

∴二次函数y=y=﹣3x2+5x+2的图像不经过等B，

∴二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+3和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”

②如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于K，过点D1作D1G⊥x轴于G，过点C2作C2H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C2H与BM交于点T．

∵AM=3，BM=6，BK=1，

由△KBC1∽△MBA，得 = ，即 = ，解得C1K= ，

∴C1（0， ），

由△KBC1≌△GAD1，得到AG=KB=1，GD1=KC1= ，

∴D1（3， ），

由△OAD2∽△GAD1，得到 = ，可得OD2=1，

∴D2（0，﹣1），

由△TBC2≌△OD2A，得到TC2=OA=2，BT=OD2=1，

∴C3（﹣3，5），

∵抛物线总是经过A、B，

∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D．

①当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t=﹣ ，

②当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3， ）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t= ，

③当抛物线经过A、B、C2时，将C2（﹣3，5）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t=﹣

④当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，﹣1）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t= ，

综上所述，满足条件的t的值为﹣ 或 或﹣ 或

【解析】【尝试】（1）解：当t=2时，
抛物线y=2（x2﹣3x+2）+（1﹣2）（﹣2x+4）
=2x2﹣4x
=2（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标（1，﹣2）．
所以答案是（1，﹣2）．
【发现】解：通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为A（2，0）和B（﹣1，6）．
所以答案是A（2，0）和B（﹣1，6）．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．