Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿射线BC的方向平移(＜5)个单位得到△DEF.

（1）（4分）求EF的长度；

（2）（4分）当=3时，连接AE、BD，试判断AE、BD之间的位置关系，并说明理由；

（3）（5分）探究：当为何值时，△ADE是等腰三角形.

Answer 1

解：

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴， … 2分

∴. …………………………… 4分

（2）AE、BD之间的位置关系是垂直且平分. … 5分

理由是:

连结AD.

∵AB∥DE，AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形，…………… 6分

又∵AB=BE=3，

∴四边形ABED是菱形，…………………… 7分

∴AE、BD垂直且平分.  …………………… 8分 

（3）分三种情况讨论：

①当时，△ADE是等腰三角形；…… 9分

②当时，△ADE是等腰三角形.

作，垂足为M，则有：

，

在Rt△AEM中，由勾股定理得：

，

即：，

解得.  ……………………………………… 10分

③方法一：

当时，△ADE是等腰三角形.

∵当时，，

∵∠BAC=90°，

∴， …………………………………………………………… 11分

又∵

∴， ……………………………………………………………… 12分

即当时，△ADE是等腰三角形；

综上所述，当或或时，△ADE是等腰三角形. ………………… 13分

方法二：

当AE=AD时，△ADE是等腰三角形.

设Rt△ABC中BC边上的高为，则有：，解得.

由已知可得：，设垂足为点P，

∵AE=DE，

∴，

∵，

即：，解得， …………………………………………… 11分

在Rt△AEP中，∠APE=90°，

∴，即：，解得：，……… 12分

即当时，△ADE是等腰三角形；

综上所述，当或或时，△ADE是等腰三角形. …………………… 13分