题目内容
【题目】某手机专卖店销售A,B两种型号的手机,如表是近两周的销售情况:
销售时段 | 销售数量 | 销售利润 | |
A型 | B型 | ||
第一周 | 3台 | 5台 | 1800元 |
第二周 | 4台 | 10台 | 3000元 |
(1)求每台A型手机和B型手机的销售利润;
(2)该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台,其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍.设购进A型号手机x台,这100台手机的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数表达式;
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型号手机的出厂价提高a(0<a<100)元,对B型号手机的出厂价下降a(0<a<100)元,且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台.若该手机专卖店保持两种手机的售价不变,请根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案.
【答案】(1)150元;(2)①y=120x+18000;②商店购进66台A型手机和34台B型手机的销售利润最大;(3) 商店购进20台A型手机和80台B型手机的销售利润最大.
【解析】
试题分析:(1)设每台A型手机利润为a元,每台B型手机的销售利润为b元;根据题意列出方程组求解,
(2)①据题意得,y=300x+180(100﹣x);
②利用不等式求出x的范围,又因为y=120x+18000是增函数,即可得出答案;
(3)据题意得,y=(300﹣a)x+(180+a)(100﹣x),即y=(120﹣2a)x+18000+100a,分三种情况讨论,①当0<a<60时,120﹣2a>0,y随x的增大而增大,②a=60时,120﹣2a=0,y=24000,③当60<a<100时,120﹣2a<0,y随x的增大而减小,分别进行求解.
试题解析:(1)设每台A型手机销售利润为a元,每台B型手机的销售利润为b元;根据题意得:
,解得:,
答:每台A型手机销售利润为100元,每台B型手机的销售利润为150元.
(2)①据题意得,y=300x+180(100﹣x)=120x+18000;
②据题意得,x≤2(100﹣x),解得x≤66,
∵y=120x+18000,120>0,
∴y随x的增大而增大,
∵x为正整数,
∴当x=66时,y取最大值,则100﹣66=34,
即商店购进66台A型手机和34台B型手机的销售利润最大.
(3)据题意得,y=(300﹣a)x+(180+a)(100﹣x),即y=(120﹣2a)x+18000+100a,20≤x≤66,
①当0<a<60时,120﹣2a>0,y随x的增大而增大,
∴当x=66时,y取最大值,
②a=60时,120﹣2a=0,y=18000+100a=24000,
即商店购进A型手机数量满足x≤66的整数时,均获得最大利润;
③当60<a<100时,120﹣2a<0,y随x的增大而减小,
∴当x=20时,y取得最大值.
即商店购进20台A型手机和80台B型手机的销售利润最大.