Question

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合）．以AD为一边向右侧作等边△ADE（C与E不重合），连接CE．
（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为

60

度；
（2）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如同2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若△ABC不是等边三角形，且BC＞AC（如图3所示）．试探究当点D在线段BC上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ACB满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC为等边三角形，等边△ADE，得出△ABD≌△ACE，进而得出∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，从而得出答案；
（2）根据△ABC与△ADE都是等边三角形，得出△BAD≌△CAE，进而得出∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°；
（3）分别根据当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时，分别分析得出答案．

解答：解：（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，△ABC为等边三角形，等边△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，
∵∠ABD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠ABD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠ECF=180°-∠ACB-60°=60°，
∴直线BD与直线CE所夹锐角为 60°；
 
（2）仍然有直线BD与直线CE所夹锐角为60°，
证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，

（3）问题（1）中结论不成立，当∠ACB=60°时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60°，
证法一：①当CD＜AC时，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示），
∵∠ACB=60°，
∴△GAC是等边三角形，
∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，
从而∠CAE=∠GAD，
∴△ACE≌△AGD，
∴∠ACE=∠AGD=60°，
∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°，
此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°，
②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意．
③当CD＞AC时，延长EC到H，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示）．
同（1）可证△ACE≌△AGD．
∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，
∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°，
此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时得出答案是解题关键．