Question

【题目】如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧)

(1)求点A、B的坐标；

(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；

(3)如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)点A坐标为(﹣4，﹣4)，点B坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.

【解析】

(1)把x＝﹣4代入解析式，求得点A的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B与点A的位置关系即可求得点B的坐标；

(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'＝，然后利用待定系数法求得抛物线F2解析式为：，对称轴为直线：，设M(6，m)，表示出OM2，A'M2，进而根据OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，继而求得A'M＝，再根据S△OA'M＝OA'A'M通过计算即可得；

(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，先求得直线OA与x轴夹角为45°，再分点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C两种情况分别讨论即可得.

(1)当x＝﹣4时，，

∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，

当y＝﹣2时，，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，

∵点A在点B的左侧，

∴点B坐标为(﹣1，﹣2)；

(2)如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G，

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，

∴∠B'OG＝∠OBE，

在△B'OG与△OBE中

，

∴△B'OG≌△OBE(AAS)，

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，

∵点B'在第四象限，

∴B'(2，﹣1)，

同理可求得：A'(4，﹣4)，

∴OA＝OA'＝，

∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'，

∴，

解得：，

∴抛物线F2解析式为：，

∴对称轴为直线：，

∵点M在直线x＝6上，设M(6，m)，

∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，

∵点A'在以OM为直径的圆上，

∴∠OA'M＝90°，

∴OA'2+A'M2＝OM2，

∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，

解得：m＝﹣2，

∴A'M＝，

∴S△OA'M＝OA'A'M＝；

(3)在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似，

∵B'(2，﹣1)，

∴直线OB'解析式为y＝﹣x，

，

解得：(即为点B')，，

∴C(8，﹣4)，

∵A'(4，﹣4)，

∴A'C∥x轴，A'C＝4，

∴∠OA'C＝135°，

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，

∵A(﹣4，﹣4)，即直线OA与x轴夹角为45°，

∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似，

∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如图2、图3)，

①若△AOD∽△OA'C，

则，

∴OD＝A'C＝4，

∴D(4，0)或(0，4)；

②若△DOA∽△OA'C，

则，

∴OD＝OA'＝8，

∴D(8，0)或(0，8)，

综上所述，点D坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.