题目内容

【题目】若两个二次函数图象的顶点相同,开口大小相同,但开口方向相反,则称这两个二次函数为“对称二次函数”.
(1)请写出二次函数y=2(x﹣2)2+1的“对称二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c,若y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当﹣3≤x≤3时,y2的最大值.

【答案】
(1)解:二次函数y=2(x﹣2)2+1的“对称二次函数”是y=﹣2(x﹣2)2+1;
(2)解:∵y1=x2﹣3x+1,y2=ax2+bx+c,

∴y1﹣y2=(1﹣a)x2﹣(3+b)x+1﹣c=(1﹣a)[x﹣ ]2+

又y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”,y1=x2﹣3x+1=(x﹣ 2

,解得

∴y2=2x2﹣6x+

∴y2=2(x﹣ 2

∴y2的对称轴为直线x=

∵2>0,且﹣3≤x≤3,

∴当x=﹣3时,y2最大值=2×(﹣3)2﹣6×(﹣3)+ =


【解析】(1)根据“对称二次函数”的定义即可求解;(2)根据y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”,求出函数y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,再利用二次函数的性质就可以解决问题.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数的最值,需要了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正确答案.

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