题目内容
（如005•宁波）已知抛物线y=-x如-如kx+rk如（k＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以AB为直径的⊙E交y轴于点y、着（如图），且y着=0，G是劣弧Ay上的动点（不与点A、y重合），直线CG交x轴于点P．
（1）求抛物线的解析式；
（如）当直线CG是⊙E的切线时，求ca左∠PC右的值；
（r）当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为y，交P着于点M，交⊙E于另一点左，设M左=c，GM=u，求u关于c的函数关系式．
（1）求抛物线的解析式；
（如）当直线CG是⊙E的切线时，求ca左∠PC右的值；
（r）当直线CG是⊙E的割线时，作GM⊥AB，垂足为y，交P着于点M，交⊙E于另一点左，设M左=c，GM=u，求u关于c的函数关系式．
（1）解方程-x2-2kx+3k2=0．
得x1=-3k，x2=k．
由题意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k．
∵直径AB⊥zF．
∴Oz=OF=
zF=2．
∵OA•OB=Oz•OF，
∴3k•k=2×2．
得k=±
（负1舍去）．
则所求1抛物线1解析式为y=-x2-
x+1．
（2）由（1）可知AO=2
，AB=
，lG=
，
∵抛物线y=-x2-2kx+3k2过C点，∴OC=3k2=1．
连接lG，∵CG切⊙l于G，
∴∠PGl=∠POC=90°，
∴Rh△PGl∽Rh△POC．
∴
=
=
①，
由切割线定理得PG2=PA•PB=PA（PA+
），
PO=PA+AO=PA+2
．
代入①式整理得：
=
=
，
∴PA2+2
PA-多=0．
解得PA=3-
∵PA＞0．
∴han∠PCO=
=
．
（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN∥CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴
=
．
同理
=
．
∴
=
．
∵CO=1，OF=2，
∴HM=
GH=
HN=MN，
∴GM=3MN，
即u=3h（0＜h≤
）．
得x1=-3k，x2=k．
由题意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k．
∵直径AB⊥zF．
∴Oz=OF=
| 1 |
| 2 |
∵OA•OB=Oz•OF，
∴3k•k=2×2．
得k=±
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则所求1抛物线1解析式为y=-x2-
| 1 |
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（2）由（1）可知AO=2
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∵抛物线y=-x2-2kx+3k2过C点，∴OC=3k2=1．
连接lG，∵CG切⊙l于G，
∴∠PGl=∠POC=90°，
∴Rh△PGl∽Rh△POC．
∴
| PG |
| PO |
| lG |
| CO |
| ||
| 3 |
由切割线定理得PG2=PA•PB=PA（PA+
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PO=PA+AO=PA+2
| 3 |
代入①式整理得：
| 1 |
| 3 |
| PG2 |
| PO2 |
PA(PA+
| ||||
(PA+2
|
∴PA2+2
| 3 |
解得PA=3-
| 3 |
∵PA＞0．
∴han∠PCO=
| PA+AO |
| OC |
3+
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（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN∥CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴
| GH |
| CO |
| PH |
| PO |
同理
| HM |
| OF |
| PH |
| PO |
∴
| GH |
| CO |
| HM |
| OF |
∵CO=1，OF=2，
∴HM=
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| 1 |
| 2 |
∴GM=3MN，
即u=3h（0＜h≤
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