Question

如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4

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，∠C=45°，点P为BC上一点，当PB=

 

 时，PD=AE．

Answer 1

考点：梯形

专题：

分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得四边形AMND是矩形，即可求得MN的长，又由CD=4

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，∠C=45°，可求得CN的长，继而求得EM与BN的长，继而求得答案．

解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=5，
∵E是BC的中点，BC=12，
∴BE=CE=6，
∵CD=4

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，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

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2

=4，
∴AM=DN=4，
∴NE=EC-CN=6-4=2，
∴BN=BE+EN=6+2=8，EM=MN-EN=5-2=3，
∴当PN=EM时，PD=AE，
∴P₁B=BN-PN=BN-ME=8-3=5，P₂B=BN+PN=BN+ME=8+3=11．
故PB=5或11时，PD=AE．
故答案为：5或11．

点评：此题考查了梯形的性质、三角函数的性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．