题目内容
【题目】已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且 
+ 
= 
，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
解：当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴直线l解析式为y=x，
∵ 
，
∴x2﹣3x+m=x，
∴x2﹣4x+m=0，
∴△=16﹣4m=0，
∴m=4
（2）
解：如图，
分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴ 
．
同理， 
．
∵ 
，
∴ 
=2．
∴ 
=2．
∴ 
，
即 
．
解方程组 
，
得x=x= 
，
即PD= ．
由方程组 
消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．
∴ 
．
解得b=8．
（3）
解：不存在．理由如下：
假设存在，
当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，
于是PD﹣AC=PE﹣PD，
即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD= 
，
∴k+3=2× ，
即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=﹣7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．
∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ
【解析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD， 
+ 
=2，同理 
+ 
=2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0两根，即可；（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
【考点精析】认真审题，首先需要了解根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)，还要掌握比例的性质(基本性质；更比性质（交换比例的内项或外项）；反比性质（交换比的前项、后项）；等比性质)的相关知识才是答题的关键．
