题目内容

如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为精英家教网A(0,3)和B(5,0),连接AB.
(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD,(点A落到点C处),请画出△COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;
(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)根据旋转的性质知△COD≌△AOB,则OC=OA、OD=OB,由此可求出C、D的坐标,进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)将(1)题所得的抛物线解析式化为顶点式,然后根据“左加右减,上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式;联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标;取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′,那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点,可先求出直线E′F的解析式,联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标;
(3)可根据对称轴方程设出P点坐标,分别表示出PE、PF、EF的长;由于△PEF的直角顶点没有确定,因此要分成三种情况考虑:①∠EPF=90°,②∠PEF=90°,③∠PFE=90°;可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边,利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程,求出P点的坐标.
解答:精英家教网解:(1)∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD
∴OC=OA,OD=OB
∵A(0,3),B(5,0)
∴C(-3,0),D(0,5)
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),
把D(0,5)代入
5=a(0+3)(0-5)
得a=-
1
3

∴y=-
1
3
x2+
2
3
x+5;

(2)由题意可知E点的坐标为(7,0)
平移前抛物线为y=-
1
3
x2+
2
3
x+5=-
1
3
(x-1)2+
16
3

∴向右平移2个单位后的抛物线为y=-
1
3
(x-3)2+
16
3

解方程组
y=-
1
3
(x-1)2+
16
3
y=-
1
3
(x-3)2+
16
3

解得
x=2
y=5

∴F(2,5)
取点E关于对称轴直线x=3的对称点E′,则E′(-1,0)
设直线E′F的解析式为y=kx+b,则有
2k+b=5
-k+b=0

解得
k=
5
3
b=
5
3

∴直线E′F的解析式为y=
5
3
x+
5
3

当x=3时,y=
20
3

∴当|PE-PF|取得最大值时,P点坐标为(3,
20
3
);

(3)设P(3,m),已求E(7,0),F(2,5)
则PE2=(7-3)2+m2=m2+16,EF2=(7-2)2+52=50,PF2=(3-2)2+(m-5)2=m2-10m+26,
若∠PEF=90°,
则PE2+EF2=PF2,即m2+16+50=m2-10m+26,
解得m=-4,
∴p1(3,-4)
若∠PFE=90°,
则PF2+EF2=PE2,即m2-10m+26+50=m2+16,
解得m=6,
∴p2(3,6)
若∠FPE=90°,
则PF2+PE2=EF2,即m2-10m+26+m2+16=50,
解得m=
41
2

p3(3,
5+
41
2
),P4(3,
5-
41
2
)

综上所述,存在点P使△EPF为直角三角形,p1(3,-4),p2(3,6),p3(3,
5+
41
2
),P4(3,
5-
41
2
)
点评:此题主要考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、轴对称的性质、函数图象交点坐标的求法以及直角三角形的判定等重要知识点,同时还考查了分类讨论的数学思想,综合性强,难度较大.
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