Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为A（0，3）和B（5，0），连接AB．
（1）现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△COD，（点A落到点C处），请画出△COD，并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；
（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当|PE-PF|取得最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使△EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质知△COD≌△AOB，则OC=OA、OD=OB，由此可求出C、D的坐标，进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将（1）题所得的抛物线解析式化为顶点式，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式；联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标；取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′，那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线E′F的解析式，联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标；
（3）可根据对称轴方程设出P点坐标，分别表示出PE、PF、EF的长；由于△PEF的直角顶点没有确定，因此要分成三种情况考虑：①∠EPF=90°，②∠PEF=90°，③∠PFE=90°；可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边，利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程，求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD
∴OC=OA，OD=OB
∵A（0，3），B（5，0）
∴C（-3，0），D（0，5）
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），
把D（0，5）代入
5=a（0+3）（0-5）
得a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

x²+

2

3

x+5；

（2）由题意可知E点的坐标为（7，0）
平移前抛物线为y=-

1

3

x²+

2

3

x+5=-

1

3

（x-1）²+

16

3

∴向右平移2个单位后的抛物线为y=-

1

3

（x-3）²+

16

3

解方程组

y=- 1 3 (x-1)2+ 16 3 y=- 1 3 (x-3)2+ 16 3

，
解得

x=2 y=5

；
∴F（2，5）
取点E关于对称轴直线x=3的对称点E′，则E′（-1，0）
设直线E′F的解析式为y=kx+b，则有

2k+b=5 -k+b=0

，
解得

k= 5 3 b= 5 3

；
∴直线E′F的解析式为y=

5

3

x+

5

3

；
当x=3时，y=

20

3

∴当|PE-PF|取得最大值时，P点坐标为（3，

20

3

）；

（3）设P（3，m），已求E（7，0），F（2，5）
则PE²=（7-3）²+m²=m²+16，EF²=（7-2）²+5²=50，PF²=（3-2）²+（m-5）²=m²-10m+26，
若∠PEF=90°，
则PE²+EF²=PF²，即m²+16+50=m²-10m+26，
解得m=-4，
∴p₁（3，-4）
若∠PFE=90°，
则PF²+EF²=PE²，即m²-10m+26+50=m²+16，
解得m=6，
∴p₂（3，6）
若∠FPE=90°，
则PF²+PE²=EF²，即m²-10m+26+m²+16=50，
解得m=

5± 41

2

∴p3(3，

5+ 41

2

)，P4(3，

5- 41

2

)；
综上所述，存在点P使△EPF为直角三角形，p₁（3，-4），p₂（3，6），p3(3，

5+ 41

2

)，P4(3，

5- 41

2

)．

点评：此题主要考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、轴对称的性质、函数图象交点坐标的求法以及直角三角形的判定等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，难度较大．