Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为，试用含的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）BE=7；（3）不存在

试题分析：（1）根据过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，得出BF与FG的长即可求出；
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
（1）过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，

   
△BEF的面积为；
（2）根据题意，得     
解得 ，．             
当时，舍去；
当时，符合题意
所以存在符合要求的线段EF，此时BE=7；
（3）假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，AD+DC=9>8 
∴只有BE+BF=8，△BEF的面积=  
设BE长为，则，△BEF的面积 
∵方程无解，
∴不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分.
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。