题目内容
【题目】已知,在平面直角坐标系中,点P(0,2),以P为圆心,OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C,一次函数y=﹣x+m(m为实数)的图象为直线l,l分别交x轴,y轴于A,B两点,如图1.
(1)B点坐标是 (用含m的代数式表示),∠ABO= °;
(2)若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点(两个公共点时,N为右侧一点),过点N作⊙P的切线交x轴于点E,如图2.
①是否存在这样的m的值,使得△EBN是直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
②当时,求m的值.
【答案】(1),30;(2)m=2或3;(3)m=.
【解析】
试题分析:(1)首先求出直线与x轴交点坐标,进而得出答案,再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数;
(2)①分别利用∠NEB=90°和∠ENB=90°,结合切线的性质得出m的值;
②首先求出NG:EN=,再得出△PHN∽△NGE,再利用相似三角形的性质,进而得出m的值.
试题解析:(1)当y=0,则0=﹣x+m,
解得:x=m,
故B点坐标是(用含m的代数式表示),
∵一次函数y=﹣x+m与y轴交于点(0,m),
∴tan∠ABO==,
∴∠ABO=30°;
故答案为:,30;
(2)①如图①,假设存在这样的m的值,使得△EBN是直角三角形.连接NP
若∠NEB=90°,∵NE是⊙P的切线,
∴∠PNE=90°,
∵∠POE=90°,
∴四边形OPNE是矩形,
∴PN=2,∠APN=90°,
在Rt△APN中,PN=2,∠BAO=60°,
∴PA=1,
∴m=3,
若∠ENB=90°,∵NE是⊙P的切线,
∴∠PNE=90°,
∴点P、N、B三点共线,即点P与点A重合,
∴m=2,
综上可知,m=2或3;
②如图②,连接PN,过点E作,EG⊥AB于G,过点P作,PH⊥AB于H,
则PA=m﹣2,PH=,
∵,∴EB=,EN=EO=,EG=,
∴EG:EN=1:4,∴NG:EN=,
∵∠PNE=90°,∴∠PNH+∠ENG=90°,
∵∠GNE+∠NEG=90°,
∴∠NEG=∠PNH,
∵∠PHN=∠EGN=90°,
∴△PHN∽△NGE,
∴,
∴,
解得:m=.