题目内容

【题目】已知,在平面直角坐标系中,点P(0,2),以P为圆心,OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C,一次函数y=﹣x+m(m为实数)的图象为直线l,l分别交x轴,y轴于A,B两点,如图1.

(1)B点坐标是 (用含m的代数式表示),∠ABO= °;

(2)若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点(两个公共点时,N为右侧一点),过点N作⊙P的切线交x轴于点E,如图2.

①是否存在这样的m的值,使得△EBN是直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

②当时,求m的值.

【答案】(1),30;(2)m=2或3;(3)m=

【解析】

试题分析:(1)首先求出直线与x轴交点坐标,进而得出答案,再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数;

(2)①分别利用∠NEB=90°和∠ENB=90°,结合切线的性质得出m的值;

②首先求出NG:EN=,再得出△PHN∽△NGE,再利用相似三角形的性质,进而得出m的值.

试题解析:(1)当y=0,则0=﹣x+m,

解得:x=m,

故B点坐标是(用含m的代数式表示),

∵一次函数y=﹣x+m与y轴交于点(0,m),

∴tan∠ABO==

∴∠ABO=30°;

故答案为:,30;

(2)①如图①,假设存在这样的m的值,使得△EBN是直角三角形.连接NP

若∠NEB=90°,∵NE是⊙P的切线,

∴∠PNE=90°,

∵∠POE=90°,

∴四边形OPNE是矩形,

∴PN=2,∠APN=90°,

在Rt△APN中,PN=2,∠BAO=60°,

∴PA=1,

∴m=3,

若∠ENB=90°,∵NE是⊙P的切线,

∴∠PNE=90°,

∴点P、N、B三点共线,即点P与点A重合,

∴m=2,

综上可知,m=2或3;

②如图②,连接PN,过点E作,EG⊥AB于G,过点P作,PH⊥AB于H,

则PA=m﹣2,PH=

,∴EB=,EN=EO=,EG=

∴EG:EN=1:4,∴NG:EN=

∵∠PNE=90°,∴∠PNH+∠ENG=90°,

∵∠GNE+∠NEG=90°,

∴∠NEG=∠PNH,

∵∠PHN=∠EGN=90°,

∴△PHN∽△NGE,

解得:m=

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