题目内容
【题目】如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴ 
，
解得 
，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）
解：令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，
解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）
解：
∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD= 
= 
= 
，
在△COD和△DFE中，
∵ 
，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴ 
，
即 
= 
，
解得DP= 
，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则 
，
即 
，
解得DG=1，PG= 
，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣ ，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（ ，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴ 
= 
，
即 
= 
，
解得DP=3 ，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则 
，
即 
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣ ，0）、（ ，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【解析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2 ， 然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．
