题目内容
【题目】如图1，平面直角坐标系xoy中，A(－4，3)，反比例函数
的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．
（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；
②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．
（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
【答案】（1）①EC＝2； ②
；（2）点D的坐标为
或
【解析】
（1）①根据A(－4，3)和反比例函数图象上点的特征可得E、F的坐标，从而可表示出AE、AF并求得
，从而证得△AEF∽△ACB，利用相似三角形的性质的折叠的性质可推出
，即可求得结果；
②当D在BO上时，由折叠的性质和同角的余角相等证得△AEF∽△BAD，设AF=x，利用勾股定理可列出方程，解之得AF的长，进而求出AE、CE的长，即可得出CE的取值范围；
（2）由△ABD是等腰三角形，可得
或
，分情况进行求解即可．
解:（1）①由题意得
，
，
∵
，则
，
，
∴
，
，
∴
，
∵由A(－4，3)得：
，
∴
，
∴
，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF=∠ACB，
∴EF∥CB，
如图2，连接AD交EF于点H ，
由折叠的性质得：AH=DH，
∵D在BC上，
∴
，则
，
∴
；
②由折叠得EF垂直平分AD，
∴
，则
，
又∵
，
∴
，
如图，当D落在BO上时，∵
，
∴△AEF∽△BAD，
∴
，则
，
∴
，
设AF=x，则FB=3－x，FD=AF=x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：
，
即
，解得：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴，即折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），CE的取值范围为；
（2）∵△ABD是等腰三角形，显然
，
∴或，
①当时，
，
由（1）得：，
∴
，
如图，过点D作
轴分别交AB、y轴于点M、N，
则
，
，
∴
，
，
∴△AEF∽△MBD，
∴
，则
，
∴
，
∴
，
∴点D的坐标为；
②当时，如图，过点D作轴分别交AB、y轴于点M、N，
则
，，，
∴
，
由（1）得，
∴△AEF∽△MAD，
∴
，则
，
设
，则
，
在Rt△MAD中，由勾股定理得：
，
即
，解得：
，
∴
，
，
∴
，
，
∴点D的坐标为；
综上所述，若折叠后，△ABD是等腰三角形，点D的坐标为或．
