题目内容
如图，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线
于点B(1，
)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．当x > 0时，在直线OC和抛物线上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
附加题：在上题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如下图)．当x > 0时，在直线
(0 < k < 1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形．若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：如图①:
设直线AB的解析式为
经过点A（2，0），B（1，
），
∵
，解得
，∴
抛物线
经过点B（1，），
，∴
又∵点C到△OAB各顶点距离相等，即点C是△OAB三边的垂直平分线的交点，连接BC，并延长交OA于E，∴BE⊥OA，OE=AE,∴点E的坐标为（1，0）
在Rt△OEC中，CE=OE?tan30°=
,∴C(1,)
设直线OC的解析式为
，
∴=
∴
设直线AC的解析式为
，
解得
，∴
。∵直线AC交
轴于点D，则点D（0，
）OD=
当OD//PQ时，①DQ=OP时，四边形DOPQ为等腰梯形（如图①）
由题意得，△OCD为等边三角形，∠CDO=∠COD，
∴Q是直线AD与抛物线的交点，
，解得
当
时，
，∴点Q的坐标为（
，
），
当时，
,∴点P的坐标为（，
）。
②∠ODQ=90°时，四边形DOPQ为直角梯形（如图②）
过点D（0，）且平行
轴的直线交抛物线于点Q
=
，解得=
（负值舍去）
∴点Q的坐标为（
，）
把=代入直线中，得
∴点P的坐标为（，
）
当DQ//OP时，①OD=PQ时，四边形DOPQ是等腰梯形，如图①
过点D（0，）且平等于OC的直线为
，
交抛物线于点Q
∴
，解得
（舍）
把
代入中，得
，∴点Q的坐标为（1，）（与点B重合）
又∵△OCD为等边三角形，∠DOC=∠BPO=60°
设过点Q（1，）且平等于AD的直线
，交OC于点P，则
，
∴
∴
，解得=2
把=2代入
中，
。∴点P的坐标为（2，），∴点P的坐标为（2，）
②∠OPQ=90°时，四边形DOPQ为直角梯形
由上解法知，点Q的坐标为（1，）（与点B重合），过B与OC垂直的直线为AB，设OC与AB的交点为P，
∴
，解得
∴点P的坐标为（
，
）
综上所述：当P1（，）、Q1（，）和P2（2，），Q2（1，）（与点B重合）时，四边形DOPQ为等腰梯形；当P3（
）、Q3（
）和P4（
）、Q4（1，）（与点B重合）时，四边形DOPQ直角梯形
附加题：
解：由第26题知点D（0，），抛物线为，设G为OD的中点，G（0，），过点G作GH垂直于轴，交直线
于点H
连接DH，∴H（
）
设直线DH为
∴
，解得
∴直线DH：
直线DH与抛物线相交于点Q，
∴
解得
=
（负值舍去）
∴Q点的坐标为（
），
P点坐标为（
）
尖子生新课堂课时作业系列答案
英才计划同步课时高效训练系列答案
各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．
|4-b|=0
（2013•长宁区二模）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（-3，0）且sin∠ABO=