Question

如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF=5,时，求BD的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）9.

试题分析：（1）连接，证明即可证明CF为⊙O的切线.
（2）连接，由∽得到，在Rt△BEF和Rt△ABD中应用锐角三角函数定义即可求得BD的长.
试题解析：（1）如图，连接.
∵, ∴
又∵∴
又∵，∴ ∴OC∥DB.
∵CE⊥DB，∴.
又∵为⊙的半径，∴为⊙O的切线.

（2）如图，连接.
在Rt△BEF中，∠BEF=90°, BF=5,，∴.
∵OC∥BE, ∴∽.∴
设⊙的半径为r, ∴ ∴.
∵AB为⊙O直径，∴.∴.
∵, ∴.
∴ ∴∴．