题目内容

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于O,且AC⊥BD,若AD+BC=4cm,求:

(1)对角线AC的长;
(2)梯形ABCD的面积.
(1)4cm (2)8cm2

分析:(1)过点D作AC的平行线DE,与BC的延长线交于E点,利用梯形的性质平移对角线AC,由题意可知,两条对角线与上、下底的和构成等腰直角三角形,已知斜边BE="AD+BC=4" ,可求直角边DE的长,即AC长;
(2)当四边形对角线互相垂直时,四边形的面积等于两条对角线积的一半,由此进行计算.
解答:
解:过点D作AC的平行线DE,与BC的延长线交于E点.
(1)∵梯形ABCD中,AD∥BC,AC∥DE,
∴四边形ACED为平行四边形,AC=DE,AD=CE,
∵AB=CD,
∴梯形ABCD为等腰梯形,
∴AC=BD,
∴BD=DE,
又AC⊥BD,
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°,
∵BE=BC+CE=BC+AD=4
根据勾股定理得:BD2+DE2=BE2,
即2BD2=(4
解得BD=4,
即AC=4cm;
(2)∵AC⊥BD,AC=BD=4,
∴S =×AC×BD=8cm
点评:本题考查了梯形常用作辅助线的方法:平移一条对角线,使梯形的两条对角线,上、下底的和围成三角形,再根据梯形其它条件解题.
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