Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）

【解析】

（1）用直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c，即可求解；

（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；

（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三种情况，分别求解即可．

解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，

故点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），

将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，

令y＝0，则x＝1或3，故点A（1，0），点P（2，﹣1）；

（2）过点E作EH∥y轴交BC于点H，

设点E（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）

S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，当x＝时，S△CBE有最大值，

点E（，﹣）；

（3）点C（0，3）、点P（2，﹣1），设点M（2，m），

CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，

①当CM＝CP时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；

②当CP＝PM时，同理可得：m＝﹣1±2；

③当CM＝PM时，同理可得：m＝；

故点M坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．