Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点B、C在x轴上；OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB，BC＝6；

（1）写出点D的坐标　 　；

（2）若点E为x轴上一点，且S△AOE＝，

①求点E的坐标；

②判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；

（3）若点M是坐标系内一点，在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6，4）；（2）①点E坐标或；②△AOE与△AOD相似，理由见解析；（3）存在，F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；

【解析】

（1）求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，OA＝4，OB＝3，可求点A坐标，即可求点D坐标；

（2）①设点E（x，0），由三角形面积公式可求解；

②由两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可证△AOE∽△DAO；

（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

解：（1）∵OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，

∴OA＝4，OB＝3，

∴点B（﹣3，0），点A（0，4），且AD∥BC，AD＝BC＝6，

∴点D（6，4）

故答案为：（6，4）；

（2）①设点E（x，0），

∵，

∴

∴

∴点E坐标或

②△AOE与△AOD相似，

理由如下：在△AOE与△DAO中，，，

∴．且∠DAO＝∠AOE＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）存在，

∵OA＝4，OB＝3，BC＝6，

∴，OB＝OC＝3，且OA⊥BO，

∴AB＝AC＝5，且AO⊥BO，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF＝AC＝5，

所以点F与B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，

点F（3，8）．

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），

L解析式为y＝x+，联立直线L与直线AB求交点，

∴F（﹣，﹣），

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求，勾股定理得出，，做A关于N的对称点即为F，，过F做y轴垂线，垂足为G，，

∴F（﹣，）．

综上所述：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；．