Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，

∵AE⊥CD，∴∠4=90°．

∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线

（2）解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．

∴ ，

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根据勾股定理，

得BD= ．

∴⊙O半径为 ．

【解析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．