题目内容
【题目】定义：若某抛物线上有两点A、B关于原点对称，则称该抛物线为“完美抛物线”.已知二次函数
（a,m,c均为常数且ac
）是“完美抛物线”：
（1）试判断ac的符号；
（2）若c＝－1,该二次函数图像与y轴交于点C，且
.
①求a的值；
②当该二次函数图像与端点为M(－1，1)、N(3，4)的线段有且只有一个交点时，求m的取值范围.
【答案】（1）ac＜0；
（2）①a的值为1；
②m的取值范围是
或
【解析】（1）首先设A点的坐标是（p，q），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A，B都是抛物线
上的点,代入求解即可；
（2）①
.故a＝1.
②由①可知：抛物线解析式为
.MN： 
(
).
依题，只需联立
在
内只有一个解即可.
试题解析：(1)设A (p，q).则B (－p，－q).把A、B坐标代入解析式可得：
.
∴
.即
.
∴
.
∵ac
.
∴
.
∴ac＜0.
(2)∵c＝－1.∴
，a＞0，且C(0，－1).∴
.
①
.∴a＝1.
②由①可知：抛物线解析式为
.∵M(－1，1)、N(3，4).
∴MN： 
(
).
依题，只需联立
在
内只有一个解即可.
∴
.故问题转化为：方程
在
内只有一个解.
建立新的二次函数： 
.∵
且
.
∴抛物线
与x轴有两个交点，且交y轴于负半轴.
问题进一步转化为抛物线
与x轴的两个交点中，只能有一个点落在以P（－1,0）、Q(3，0)为端点的线段PQ上.
分情况讨论：
㈠当抛物线与x轴的左交点落在线段PQ上.则右交点在PQ的延长线上.如图(1)：
则对于函数
有
即： 
，
解得： 
.
㈡当抛物线与x轴的右交点落在线段PQ上.则左交点在QP的延长线上.如图(2)：
则对于函数
有
即： 
，解得： 
.
综上所述， 
或
.
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