题目内容
抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-1,0)、B(3,0),交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.
(1)求顶点D的坐标(用a的代数式表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求顶点D的坐标(用a的代数式表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)(方法一)由题意:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
∴点C(0,-3a),D(1,-4a),
(方法二)由题意:
,
解得
.
∴y=ax2-2ax-3a(下同方法一);
(2)(方法一)过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEC∽△COB
∴
=
∴
=
∴a2=1.
∵a<0,
∴a=-1.
故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
(方法二)过点D作DE⊥y轴于点E,过M作MG⊥x轴于点G,
设⊙M交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形OHDE为矩形,则OH=DE=1,再证OF=CE=-a,
由OH•OB=OF•OC得:(-a)(-3a)=1×3,
∴a2=1;(下同法一)
(3)符合条件的点P存在,共3个
①若∠BPD=90°,P点与C点重合,则P1(0,3)(P1表示第一个P点,下同)
②若∠DBP=90°,过点P2作P2R⊥x轴于点R,
设点P2(p,-p2+2p+3)
由△BP2R∽△DBH得,
=
,
即
=
,
解得p=-
或p=3(舍去)
故P2(-
,-
)
③若∠BDP=90°,设DP3的延长线交y轴于点N,可证△EDN∽△HDB,
求得EN=
,
∴N(0,
).
求得DN的解析式为y=
x+
,
求抛物线与直线DN的交点得P3(
,
),
综上所述:符合条件的点P为(0,3)、(-
,-
)、(
,
).
∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,
∴点C(0,-3a),D(1,-4a),
(方法二)由题意:
|
解得
|
∴y=ax2-2ax-3a(下同方法一);
(2)(方法一)过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEC∽△COB
∴
DE |
OC |
CE |
OB |
1 |
-3a |
-a |
3 |
∴a2=1.
∵a<0,
∴a=-1.
故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
(方法二)过点D作DE⊥y轴于点E,过M作MG⊥x轴于点G,
设⊙M交x轴于另一点H,交y轴于另一点F,可先证四边形OHDE为矩形,则OH=DE=1,再证OF=CE=-a,
由OH•OB=OF•OC得:(-a)(-3a)=1×3,
∴a2=1;(下同法一)
(3)符合条件的点P存在,共3个
①若∠BPD=90°,P点与C点重合,则P1(0,3)(P1表示第一个P点,下同)
②若∠DBP=90°,过点P2作P2R⊥x轴于点R,
设点P2(p,-p2+2p+3)
由△BP2R∽△DBH得,
BR |
DH |
P2R |
BH |
即
-p+3 |
4 |
p2-2p-3 |
2 |
解得p=-
3 |
2 |
故P2(-
3 |
2 |
9 |
4 |
③若∠BDP=90°,设DP3的延长线交y轴于点N,可证△EDN∽△HDB,
求得EN=
1 |
2 |
∴N(0,
7 |
2 |
求得DN的解析式为y=
1 |
2 |
7 |
2 |
求抛物线与直线DN的交点得P3(
1 |
2 |
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综上所述:符合条件的点P为(0,3)、(-
3 |
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1 |
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