题目内容

【题目】如图1，平行四边形在平面直角坐标系中，(点在点的左侧)两点的横坐标是方程的两个根，点在轴上，其中．

若是第一象限位于直线上方的一点，过作于过作轴于点，作轴交直线于为中点，其中的周长是；若为线段上一动点，为直线上一动点，连接，求的最小值，此时轴上有一个动点，当最大时，求点坐标；

在的情况下，将绕点逆时针旋转后得到如图2，将线段沿着轴平移记平移过程中的线段为，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为: ，，

【解析】

（1）通过解方程，求得点A、B的坐标，结合图形得到点C、D、E的坐标，，轴，得到为等腰直角三角形，由周长可以求出三边长，利用“将军饮马”模型，两动一定求出最小值，以及两定一动求出最大值即可；

（2）根据题意，设点，则，，表示出E，E，若以点为顶点的四边形为菱形，则分三种情况讨论，分别利用邻边相等即可求出．

由题意可得:

∵解方程的两个根分别为：，，点在点的左侧

∴，

直线，

直线，

为等腰直角三角形，

的周长为，

，

，

点关于的对称点为:

过点做分别交、于点，

则，

此时的值最小为，

则，

点关于轴对称，

直线

，

故答案为：．

存在．

设点，则，

由题意可得: ，

，，

当时，，

解得:，

点的坐标为:，

当时，，

解得:，

点的坐标为:，

当时，，

解得:，

点的坐标为:，

点的坐标为: ，，，

故答案为：，，．

练习册系列答案
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【题目】蛋黄酥是现下糕点界的网红，每一颗蛋黄酥金黄诱人的酥皮下都包着一颗细腻绵沙的咸蛋黄，其口口酥心，层层松软的特点让人难忘．某商家推出两款八粒装的蛋黄酥，其中麻薯豆沙蛋黄酥50元每盒，莲蓉千层蛋黄酥48元每盒，两款蛋黄酥非常畅销，平均每周销售额为344000元．

（1）受生产能力限制，该商家平时每周生产7000盒八粒装蛋黄酥，为了保证周销售额不变，则每周平均需生产麻薯豆沙蛋黄酥多少盒？

（2）在（1）的条件下，为了迎接双十一大促，该商家提前扩大生产能力，并在双十一当天，开展蛋黄酥促销活动，麻薯豆沙蛋黄酥售价降低了a元，其销量在当天比平时周销量增加了2000盒，最后当天两款蛋黄酥的总销售额比平时周销售额还多96000元，求a的值．

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动；同时，点从点出发，沿以每秒2个单位的速度向终点运动，当、两点其中一点到达点时，另一点也随之停止运动，过点作，过点作．当点与点不重合时，以、为邻边作．设、两点的运动时间为秒．

（1）求线段的长．(用含的代数式表示)

（2）点在边上运动，当点落在边上时，求的值．

（3）设与重叠部分图形的面积为，当点在内部时，求与之间的函数关系式．

（4）当的一边是它邻边2倍时，直接写出的取值范围．

【题目】在中，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为腰作等腰直角，使，连接．

（1）观察猜想

如图1，当点在线段上时，

①与的位置关系为__________；

②之间的数量关系为___________（提示：可证）

（2）数学思考

如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）拓展延伸

如图3，当点在线段的延长线时，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，若，请直接写出线段的长．（提示：做于，做于）

【题目】A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得浓度为31.5%，测量发现，，，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两瓶酒精全部混合后的浓度为______．

【题目】如图，A是上一动点，D是弦BC上一定点，连接AB，AC，AD．设线段AB的长是xcm，线段AC的长是cm，线段AD的长是cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量x的变化的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点A在上的不同位置，画图、测量，得到了，的长度与x的几组值：

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置7

位置8

x/cm

0.00

0.99

2.01

3.46

4.98

5.84

7.07

8.00

/cm

8.00

7.46

6.81

5.69

4.26

3.29

1.62

0.00

/cm

2.50

2.08

1.88

2.15

2.99

3.61

4.62

m

请直接写出上表中的m值是 ；

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后表中各组数据所对应的点(x，)，(x，)，并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当AC=AD时，AB的长度约为 cm；当AC=2AD时，AB的长度约为 cm．

【题目】在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个是红球的概率为0.75.

（1）根据题意，袋中有 个蓝球.

（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球.请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A）”的概率P（A）.

【题目】观察猜想：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是　 　，BE+BF＝　 　；

探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；

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【题目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．

（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；

（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；

（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．

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