题目内容

【题目】如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与M、C重合),以AB为直径作O,过点P作O的切线,交AD于点F,切点为E.

(1)求证:OFBE;

(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;

(3)延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H(图2),问是否存在点P,使EFO∽△EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)?如果存在,试求(2)中x和y的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)首先证明RtFAORtFEO进而得出AOF=ABE,即可得出答案。

(2)(1<x<2)。

(3)存在这样的P点。理由见解析。

【解析】

分析:(1)首先证明RtFAORtFEO进而得出AOF=ABE,即可得出答案。

(2)过F作FQBC于Q,利用勾股定理求出y与x之间的函数关系,根据M是BC中点以及BC=2,即可得出BP的取值范围。

(3)首先得出当EFO=EHG=2EOF时,即EOF=30°时,RtEFORtEHG,求出y=AF=OAtan30°=,即可得出答案

解:(1)证明:连接OE,

FE、FA是O的两条切线,∴∠FAO=FEO=90°。

在RtOAF和RtOEF中,

RtFAORtFEO(HL)。

∴∠AOF=EOF=AOE。∴∠AOF=ABE。

OFBE。

(2)过F作FQBC于Q,

PQ=BP﹣BQ=x﹣y,

PF=EF+EP=FA+BP=x+y。

在RtPFQ中,FQ2+QP2=PF2

22+(x﹣y)2=(x+y)2

化简得:(1<x<2)。

(3)存在这样的P点。理由如下:

∵∠EOF=AOF,

∴∠EHG=EOA=2EOF。

EFO=EHG=2EOF时,即EOF=30°时,RtEFORtEHG,

此时RtAFO中,y=AF=OAtan30°=

y=,时,EFO∽△EHG。

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