Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于M点，AF是两圆的外公切线，A、B是切点，DF经过O₁、O₂，分别交⊙O₁于D、⊙O₂于E，AC是⊙O₁的直径，BC经过M点，连接AD．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求证：MF²=AF•BF；
（3）如果⊙O₁的直径长为8，tan∠ACB=，求⊙O₂的直径长．

Answer 1

（1）证明：∵∠DO₁A=∠CO₁M，O₁A=O₁D=O₁C=O₁M
∴∠ADO₁=∠O₁MC=∠DAO₁=∠O₁CM
∴DA∥CM

（2）证明：连接AM，
∵∠BME=∠O₁MC
又∵∠O₁MC=∠ADO₁∴∠BME=∠ADO₁
又∵AB切⊙O₁于A
∴∠ADO₁=∠MAB
∴∠MAB=∠BME∠F=∠F
∴△MBF∽△AMF
∴
即：MF²=AF•BF

（3）解：在Rt△ACB中，
∵tan∠ACB=
又∵AC=8
∴AB=6
∵BC==10
∵AB²=BM•BC
∴6²=BM×10
∴BM=3.6
又∵∠ACB=∠BME
∴tan∠BME=
∴BE=2.7
∴ME==4.5．
分析：（1）根据同弧的圆周角相等，先证∠ADM=∠ACB，再证△O₁AD为等腰三角形，根据等量代换可证∠DAC=∠ACB，即可证得．
（2）要证结论，必先证△AMF∽△MBF，根据切线定理，即可证得∠ADO₁=∠MAB，又在第1问的基础上进行等量代换，就可证得AAA．
（3）由切割线定理和勾股定理多次结合使用，即可求得．
点评：切线长定理和切割线定理是中考的热点，掌握其用法，并与勾股定理和相似三角形综合应用，即可解答此类题．