Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OC⊥BD，垂足为E，BD=12，CE=8，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）求出∠A+∠ABD=90°，推出∠DBC+∠ABD=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BE长，证△BEC∽△ADB，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AB是直径，
∴∠D=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即AB⊥BC，
∵AB过0，
∴BC与⊙O相切．

（2）解：∵OC⊥BD，OC过O，
∴BE=DE=

1

2

BD，
∵BD=12，
∴BE=6，
∵OC⊥BD，
∴∠BEC=∠D=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴△BEC∽△ADB，
∴

BE

AD

=

CE

BD

，
∴

6

AD

=

8

12

，
∴AD=9．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质的应用，关键是推出AB⊥BC和推出△BEC∽△ADB．