题目内容
如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点．（1）当EF∥BC时，如图①，证明：EF=BE+CF；
（2）当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；
（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．
分析：（1）根据△ABC是等边三角形知道AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，而DB=DC，∠BDC=120°，这样可以得到△DCF和△BED
是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此进一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，这样可以得到BE=
DE=
DF=CF，而△DEF是等边三角形，所以题目的结论就可以证明出来了；
（2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F’，使BF’=CF，连接DF’，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF’，
根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以证明△EDF’≌△EDF，从而证明题目的结论．
（3）结论发生变化．EF=BE-CF．
是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE=DF，由此进一步得到
DE=DF∠BDE=∠CDF=30°，这样可以得到BE=
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（2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F’，使BF’=CF，连接DF’，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF’，
根据全等三角形的性质可以得到DF=DF’，∠BDF’=∠CDF，又∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得到：∠EDF’=∠CDF=60°，由此可以证明△EDF’≌△EDF，从而证明题目的结论．
（3）结论发生变化．EF=BE-CF．
解答：解：如图，点D是等边△ABC外一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，角的两边分别为DP、DQ
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°，
∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴AE=AF．
∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
∴BE=
DE=
DF=CF．
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
即DE=DF=EF．
∴BE+CF=
DE+
DF=EF．
（2）结论仍然成立．
证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′=CF，连接DF′．
由（1）得，∠DBE=∠DCF=90°
则∠DBF′=∠DCF=90°，
又∵BD=CD，
∴△DCF≌△DBF’（SAS）
∴DF=DF′，∠BDF′=∠CDF，
又∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠EDB+∠BDF′
=∠EDF′=∠CDF=60°，又DE=DE，
∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．
（3）结论发生变化．EF=CF-BE．
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°，
∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴AE=AF．
∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
又∵DB=DC，∠DBE=∠DCF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
∴BE=
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∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形．
即DE=DF=EF．
∴BE+CF=
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（2）结论仍然成立．
证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′=CF，连接DF′．
由（1）得，∠DBE=∠DCF=90°
则∠DBF′=∠DCF=90°，
又∵BD=CD，
∴△DCF≌△DBF’（SAS）
∴DF=DF′，∠BDF′=∠CDF，
又∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠EDB+∠BDF′
=∠EDF′=∠CDF=60°，又DE=DE，
∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．
（3）结论发生变化．EF=CF-BE．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究全等三角形，利用全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．
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