题目内容
【题目】阅读材料：
“三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”（苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件）
问题初探：
（1）三角形的外心到三角形的_____________距离相等
（2）若点O是△ABC的外心，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD，连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度数。（保留作图痕迹，不写作法。）
【答案】（1）三个顶点；（2）∠BOC=2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC ；（3）
【解析】
（1）由三角形的三顶点都在圆上且圆上个点到圆心的距离相等可得答案；
（2）分∠BAC为锐角、直角、钝角三种情况，锐角时作直径AD，由OA=OB=OC知∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，据此得∠BOD=2∠BAO、∠COD=2∠CAO，根据∠BOC=∠BOD+∠COD可得；直角时由OA=OB=OC知点O是斜边BC的中点，据此可得；钝角时，根据∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD可得；
（3）由旋转性质知BC=BD、∠BCD=∠BDC=75°，证△OCD为等边三角形得OC=CD，再证△ACD≌△BCO得∠ADC=∠BOC=150°，根据∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC可得答案．
解：（1）∵三角形的三顶点都在圆上，
∴圆心到三角形的三顶点的距离相等；
（2）①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，
∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO
=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC；
②当∠BAC为直角时，如图2，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴OA=OB=OC，
∴点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180°，∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC；
③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，
∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，
∴∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD
=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）
=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，
即∠BOC=360°-2∠BAC；
综上可知，∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC；
（3）如图4，点O为△BCD的外心，
由“将线段BC绕点B逆时针方向旋转30°到BD”可得：∠CBD=30°，CB=DB，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠BOC=2∠BDC=150°．
又点O为△BCD的外心，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=15°，
又∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°，
∴∠ACD=∠BCO，∠OCD=60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=CO．
在△DCA和△OCB中，
∵
，
∴△DCA≌△OCB（SAS），
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC=135°．
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t（s） | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h（m） | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度．
