题目内容

【题目】如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点MOC上,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F∠1=∠2,连结CBDG交于点N

1)求证:CF⊙O的切线;

2)求证:△ACM∽△DCN

3)若点MCO的中点,O的半径为4cosBOC=,求BN的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3BN=

【解析】试题分析:(1)、根据BO=CO得出∠B=∠BCO,根据∠2+B=90°1=2得出∠1+BCO=90°,从而得到切线;(2)、根据AB为直径得到∠ACB=FCO=90°,从而得出∠3=1,即∠3=2,结合∠4=D得出三角形相似;(3)、根据题意得出BE和AE的长度,然后根据勾股定理得出CE、AC和BC的长度,最后根据△ACM∽△DCN得出CN的长度,从而根据BN=BC-CN得出答案.

试题解析:(1)、∵△BCO中,BO=CO ∴∠B=BCO

BCE中,2+B=90° ∵∠1=2 ∴∠1+BCO=90° FCO=90°

CFO的切线;

2ABO直径, ∴∠ACB=FCO=90° ∴∠ACBBCO=FCOBCO

3=1 ∴∠3=2∵∠4=D ∴△ACM∽△DCN

3∵⊙O的半径为4,即AO=CO=BO=4 COE中,BOC=

OE=COBOC=4×=1

由此可得:BE=3AE=5,由勾股定理可得:CE===

AC===2 BC===2

ABO直径,ABCD由垂径定理得:CD=2CE=2

∵△ACM∽△DCN=MCO的中点,CM=AO=×4=2

CN===BN=BCCN=2=

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