题目内容
【题目】如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,垂足为E,点M在OC上,AM的延长线交⊙O于点G,交过C的直线于F,∠1=∠2,连结CB与DG交于点N.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)求证:△ACM∽△DCN;
(3)若点M是CO的中点,⊙O的半径为4,cos∠BOC=,求BN的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BN=.
【解析】试题分析:(1)、根据BO=CO得出∠B=∠BCO,根据∠2+∠B=90°,∠1=∠2得出∠1+∠BCO=90°,从而得到切线;(2)、根据AB为直径得到∠ACB=∠FCO=90°,从而得出∠3=∠1,即∠3=∠2,结合∠4=∠D得出三角形相似;(3)、根据题意得出BE和AE的长度,然后根据勾股定理得出CE、AC和BC的长度,最后根据△ACM∽△DCN得出CN的长度,从而根据BN=BC-CN得出答案.
试题解析:(1)、∵△BCO中,BO=CO, ∴∠B=∠BCO,
在△BCE中,∠2+∠B=90°, 又∵∠1=∠2, ∴∠1+∠BCO=90°, 即∠FCO=90°,
∴CF是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O直径, ∴∠ACB=∠FCO=90°, ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO,
即∠3=∠1, ∴∠3=∠2,∵∠4=∠D, ∴△ACM∽△DCN;
(3)∵⊙O的半径为4,即AO=CO=BO=4, 在△COE中,∠BOC=,
∴OE=CO∠BOC=4×=1,
由此可得:BE=3,AE=5,由勾股定理可得:CE===,
AC===2, BC===2,
∵AB是⊙O直径,AB⊥CD, ∴由垂径定理得:CD=2CE=2,
∵△ACM∽△DCN, ∴=, ∵点M是CO的中点,CM=AO=×4=2,
∴CN===, ∴BN=BC﹣CN=2﹣=.