题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：
过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：
的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【答案】（1）抛物线
对应的函数表达式为
；（2）点
的坐标为
或
或
或
；（3）点
坐标为
或
.
【解析】
（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；
（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线
中，列出方程求得解便可；
（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，设点P坐标为（x1，
），点R坐标为（x2，
），证明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，进而得tan∠PRH的值，过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，
），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．
（1）将
代入
，得
，故点
的坐标为
.
将
代入
，
得
，解得
.
所以抛物线对应的函数表达式为.
（2）设点的坐标为
.
第一种情况：
为平行四边形的一条边.
①当点在点右侧时，则点的坐标为
.
将
代入，得
，
整理得
，解得
.
因为
时，点与点
重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为.
②当点在点左侧时，则点的坐标为.
将代入，得
，
整理得
，解得
.
此时点的坐标为或.
第二种情况：当为平行四边形的一条对角线时.
由的中点坐标为
，得
的中点坐标为，
故点的坐标为
.
将
代入，得
，
整理得
，解得
.
因为时，点与点重合，不符合题意，所以舍去，
此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为或或或.
（3）当点在
轴左侧时，抛物线不存在动点
使得
平分
.
当点在轴右侧时，不妨设点在的上方，点在的下方，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为
，
过点作
，垂足为
，则有
.
由平分，得
，则
，
故
，所以
.
设点坐标为
，
点坐标为
，
所以有
，
整理得
.
在
中，
.
过点作
轴，垂足为
.设点坐标为
.
若
，则需
.所以
.
所以
.解得
.
所以点坐标为或.
