Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE=∠BFE．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）若AD=4，AB=8，则线段EF的长是_______．(直接写出答案即可)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据矩形的性质可得∠OAE=∠OCF，利用ASA可证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，即可证明BE=DF，可证明四边形DEBF是平行四边形，根据∠DFE=∠BFE及矩形性质可得∠BFE=∠BEF，即可得出BE=BF，可得四边形DEBF是菱形；

（2）如图，连接BD，由矩形的性质可得点O为BD中点，根据菱形的性质可得EF⊥BD，利用勾股定理可求出BD的长，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，利用勾股定理可求出x的长，再利用勾股定理即可求出OE的长，进而可得EF的长．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC=AB．

∴∠OAE=∠OCF．

∵OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

∴BE=DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵∠DFE=∠BFE，∠DFE=∠FEB，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF，

∴四边形DEBF是菱形．

（2）如图，连接BD，

∵AB=8，AD=4，

∴BD==，

∵点C为矩形ABCD对角线AC的中点，

∴点O为BD中点，即OB=BD=，

∵四边形DEBF是菱形，

∴EF⊥BD，EF=2OE，

设BE=x，

∵AB=8，

∴DE=BE=x，AE=8-x，

∵AD=4，

∴x2=42+(8-x)2，

解得：x=5，即BE=5，

∴OE==，

∴EF=2OE=．