题目内容
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.(1)求证:AE=2PE;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
分析:(1)先由已知条件判断出△ADP∽△ABC,由相似三角形的对应边成比例即可得出
=
=
,再由∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP可知△EPD∽△EAP,再根据其对应边成比例即可求出答案;
(2)由△EPD∽△EAP,得
=
=
,进而可得出AE与DE的关系,作EH⊥AB,垂足为点H,由PD∥HE可得出
=
=
,进而可得出y与x的关系式;
(3)由△PEH∽△BAC,得
=
,当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°,由相似三角形的对应边成比例即可得出答案.
PD |
AP |
BC |
AC |
1 |
2 |
(2)由△EPD∽△EAP,得
DE |
PE |
PD |
AP |
1 |
2 |
HE |
PD |
AE |
AD |
4 |
3 |
(3)由△PEH∽△BAC,得
PE |
HE |
AB |
AC |
解答:解:(1)∵∠APD=∠C=90°,∠A=∠A,
∴△ADP∽△ABC,(1分)
∴
=
=
,(1分)
∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,
∴△EPD∽△EAP.
∴
=
=
.(1分)
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP,得
=
=
,
∴PE=2DE,(1分)
∴AE=2PE=4DE,(1分)
作EH⊥AB,垂足为点H,
∵AP=x,
∴PD=
x,
∵PD∥HE,
∴
=
=
.
∴HE=
x.(1分)
又∵AB=2
,y=
(2
-x)•
x,即y=-
x2+
x.(1分)
定义域是0<x<
.(1分)
另解:由△EPD∽△EAP,得
=
=
,
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=
×
x=
x,(1分)
∴S△ABE=
×
x×2=
x,
∴
=
,即
=
,
∴y=-
x2+
x.(1分)
定义域是0<x<
.(1分)
(3)由△PEH∽△BAC,得
=
,
∴PE=
x•
=
x.(1分)
当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°.
(i)当∠BEP=90°时,
=
,
∴
=
.
解得x=
.(1分)
∴y=-
x×
×5+
×
=
.(1分)
(ii)当∠EBP=90°时,同理可得x=
,(1分)
y=
.(1分)
∴△ADP∽△ABC,(1分)
∴
PD |
AP |
BC |
AC |
1 |
2 |
∵∠EPD=∠A,∠PED=∠AEP,
∴△EPD∽△EAP.
∴
PE |
AE |
PD |
AP |
1 |
2 |
∴AE=2PE.(1分)
(2)由△EPD∽△EAP,得
DE |
PE |
PD |
AP |
1 |
2 |
∴PE=2DE,(1分)
∴AE=2PE=4DE,(1分)
作EH⊥AB,垂足为点H,
∵AP=x,
∴PD=
1 |
2 |
∵PD∥HE,
∴
HE |
PD |
AE |
AD |
4 |
3 |
∴HE=
2 |
3 |
又∵AB=2
5 |
1 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2
| ||
3 |
定义域是0<x<
8
| ||
5 |
另解:由△EPD∽△EAP,得
DE |
PE |
PD |
AP |
1 |
2 |
∴PE=2DE.(1分)
∴AE=2PE=4DE.(1分)
∴AE=
4 |
3 |
| ||
2 |
2
| ||
3 |
∴S△ABE=
1 |
2 |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∴
S△BEP |
S△ABE |
BP |
AB |
y | ||||
|
2
| ||
2
|
∴y=-
1 |
3 |
2
| ||
3 |
定义域是0<x<
8
| ||
5 |
(3)由△PEH∽△BAC,得
PE |
HE |
AB |
AC |
∴PE=
2 |
3 |
| ||
2 |
| ||
3 |
当△BEP与△ABC相似时,只有两种情形:∠BEP=∠C=90°或∠EBP=∠C=90°.
(i)当∠BEP=90°时,
PE |
PB |
BC |
AB |
∴
| ||||
2
|
1 | ||
|
解得x=
3
| ||
4 |
∴y=-
1 |
3 |
9 |
16 |
2
| ||
3 |
3
| ||
4 |
25 |
16 |
(ii)当∠EBP=90°时,同理可得x=
3
| ||
2 |
y=
5 |
4 |
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,在解(3)时要注意分类讨论,不要漏解.
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