Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线CE与⊙O相切．

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°

∴∠AE0+∠DEC=90°

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切．

（2）解：∵tan∠ACB= = ，BC=2，

∴AB=BCtan∠ACB= ，

∴AC= ；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴tan∠DCE=tan∠ACB= ，

∴DE=DCtan∠DCE=1；

方法一：在Rt△CDE中，CE= = ，

连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即 =r2+3

解得：r=

方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM= AE=

在Rt△AMO中，OA= = ÷ =

【解析】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB= ，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2 ， 即 =r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．