题目内容

小明在课间用橡皮筋将两支规格相同的铅笔垂直放置在桌面上（如图）．小明发现：当铅笔左右平行移动时，橡皮筋的交点到桌面的距离保持不变．于是该班数学兴趣小组进行了如下探究：

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P1，过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1，已知AB=CD=a，则PQ=
 
，P1Q1=
 
．（用含a的代数式表示）
（2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．
（3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P1，过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1．连结AQ1交BD于点P2，过点P2作P2Q2∥CD交BC于点Q2，…，已知AB=a，CD=b，则点P1的纵坐标为
 
点Pn的纵坐标为
 
（直接用含a、b、n的代数式表示）
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得BP=PD，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出
QP1
P1D
的值，再求出
QP1
QD
的值，然后根据平行线分线段成比例定理可得
P1Q1
CD
=
QP1
QD
，再代入数据进行计算即可求出P1Q1；
（2）先根据AB∥CD求出
BP
PD
，然后求出
BP
BD
，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理可得
PQ
CD
=
BP
BD
，代入数据进行计算即可得解；
（3）根据（2）的结论依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…PnQn，再根据两直线平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BP=PD，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴
PQ
CD
=
BP
BD
=
1
2
，
∴PQ=
1
2
CD=
1
2
a，
∵P1Q1⊥BC，
∴P1Q1∥CD，
∴
QP1
P1D
=
PQ
CD
=
1
2
，
∴
QP1
QD
=
1
1+2
=
1
3
，
又∵
P1Q1
CD
=
QP1
QD
，
∴P1Q1=
1
3
a；

（2）∵AB∥CD，
∴
BP
PD
=
AB
CD
=
a
b
，
∴
BP
BD
=
a
a+b
，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴
PQ
CD
=
BP
BD
=
a
a+b
，
∴PQ=
a
a+b
•CD=
ab
a+b
；

（3）根据（2）的结论，PQ=
ab
a+b
，
P1Q1=
a•
ab
a+b
a+
ab
a+b
=
ab
a+2b
，
P2Q2=
a•
ab
a+2b
a+
ab
a+2b
=
ab
a+3b
，
P3Q3=
a•
ab
a+3b
a+
ab
a+3b
=
ab
a+4b
，
…，
依此类推，PnQn=
ab
a+(n+1)b
，
∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，
∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥PnQn∥CD，
∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，
∴点P1的纵坐标为：P1Q1•sin60°=
ab
a+2b
×
3
2
=
3
ab
2a+4b
，
点Pn的纵坐标为为PnQn•sin60°=
ab
a+(n+1)b
×
3
2
=
3
ab
2a+2(n+1)b
．
故答案为：（1）
1
2
a，
1
3
a；（2）
ab
a+b
；（3）
3
ab
2a+4b
，
3
ab
2a+2(n+1)b
．
点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，难度较大，规律性较强，求出PQ并发现利用好规律，表示出相应的线段是解题的关键．
练习册系列答案
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关于x，y的方程组
x-y=3
ax+5y=4
与
3x+2y=-1
5x+by=1
有相同的解，那么代数式a-7b的值是
 
．
化简：
1
2
x+2(x-
1
3
x2)+(-
3
2
x+
1
3
y2)．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边EC交AB于点D，则∠ECA=
 
°．
育才学校为方便学生中午在校就餐，与某饮食服务公司联系，为学生供应价格不等的6种盒饭，如图所示是某一天销售情况的频数分布直方图．
单价（元） 2 3 4 5 6 7
成本（元） 1.8 2.4 3 3.8 4.2 4.5
请根据直方图回答下列问题：
（1）这一天饮食服务公司在育才学校共销售多少盒饭？
（2）如果每个学生都只购了一份，求这一天学生购买盒饭时付饭费的平均数和中位数；
（3）若饮食服务公司加工各种盒饭的成本如下表所示，这一天销售中，饮食服务公司共赢利多少元？
某鸡场调查了30只同一品种的雏鸡的体重如下（单位：kg）：
1.5  1.6  1.4  1.7  1.1  1.6  1.8  1.3
1.4  1.2  1.5  1.6  1.6  1.4  1.7  1.4
1.6  1.5  1.4  1.5  1.5  1.7  1.6  1.4
1.9  1.7  1.5  1.5  1.5  1.6
若要根据这些体重设计频数分布表，要求分为5段，则应将体重按
 
的距离分段，起点数可取为
 
，每段的范围分别为
 
．
下面是一组同学的跳远成绩（单位：cm）
455  425  438  402  398  435  395  438
382  390  460  388  412  420  430  442
454  428  396  435  438  428  415  441
418  426
根据这些成绩设计频数分布表，下列分段合适的是（　　）
A、381～401  401～421  421～441  441～461
B、381.5～401.5  401.5～421.5  421.5～441.5  441.5～461.5
C、318.5～402.5  402.5～422.5  422.5～442.5  442.5～462.5
D、382～402  402～422  422～442  442～462
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∵AB=CD，∠E=∠E，
∴△EAB≌△ECD．
∴EB=ED，EA=EC．
图①中ED-EA=EB-EC，即AD=CB．
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又∵∠DAB=∠BCD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
数学老师的观点：
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你的想法：
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