Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x₁，0）．顶点为P．
（1）若点P的坐标为（-1，-4），求此抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值为5时，求此抛物线的解析式和点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据顶点坐标，设出抛物线的顶点式y=a（x+1）²-4，将点A的坐标代入可得出a的值，继而确定此抛物线的解析式；
（2）设顶点P（-1，k）关于y轴的对称点P'，则P'（1，k），当直线BP′与y轴的交点为Q时，QB+QP取得最小值，由最小值为5，在Rt△BHP'中求出HP'的长，得出P点坐标后可确定抛物线解析式，求出直线BP'的坐标，可得出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线顶点P（-1，-4），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+1）²-4，
将A（1，0）代入可得：0=4a-4，
解得：a=1，
故抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（2）如图，∵抛物线的对称轴为x=-1，且经过A（1，0），

∴B（-3，0），

设顶点P（-1，k）关于y轴的对称点P'，则P'（1，k），

当直线BP′与y轴的交点为Q时，QB+QP取得最小值，
过点P′作P′H⊥y轴的交点为H，由B（-3，0），P′（1，k），得BH=4，
在Rt△BHP′中，HP′=

BP′2-BH2

=

52-42

=3，
由k＜0得k=-3，
∴P（-1，-3），
设y=a（x+1）²-3，把点A（1，0）代入得：0=4a-3，
解得：a=

3

4

，
∴y=

3

4

（x+1）²-3，
故可得点B的坐标为（-3，0），
设直线BP'的解析式为：y=kx+b，
将点B（-3，0）、点P'（1，-3）代入可得：

-3k+b=0 k+b=-3

，
解得：

k=- 3 4 b=- 9 4

，
故直线BP'的解析式为：y=-

3

4

x-

9

4

，
令x=0，则y=-

9

4

，
故Q的坐标为（0，-

9

4

）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是数形结合思想及方程思想的综合运用，难度较大．