题目内容
【题目】线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为
. 其中正确的是（ ）
A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④
【答案】D
【解析】
根据题意并结合图形，我们可以得出当C为AB的中点时，可判断所给结论正确与否．
解：
当C为AB中点时，有图如下，
∵
与
为等边三角形，
∵C为AB中点，
∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND，
∵
∴
∴
为等边三角形，③正确；
∵
∴
∴AD=BD，△ABD此时为等腰三角形，②正确；
当C为AB中点时，AD+BD值最小，
∵D为MN的中点，
∴CD为MN的垂直平分线，
∴
，∵AB=6，
∴
∴
∵AD=BD
∴AD+BD=
，④正确；
若△ABD可能为直角三角形，则
，
∴CD为AB的垂直平分线
∴
∴AC=CD，与所求结论不符，①错误．
故选：D．
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