Question

如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．

（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，
∴点M为BC的中点，∴BM=BC=×4=2。
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
∴△BMP′必为等腰直角三角形，BM=MP′。
由对称轴可知，MP=MP′，PP′⊥BC，则△BMP为等腰直角三角形，
∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′=BP。
∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°。
∴∠BPC=∠BCP。∴BP=BC=4。∴BP′=4。
在等腰直角三角形BMP′中，斜边BP′=4，∴BM=BP′=。
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：
①若AD=BD，如题图②所示，此时△ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，
∴。
②若AD=AB，如答图①所示，
过点D作DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，

∴DE=AD=AB=。
∴，
③若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，
∴。

（1）由菱形的性质可知，点M为BC的中点，所以BM可求。
（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形．证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形，则BP=BP′；证明△BCP为等腰三角形，BP=BC，从而BP′=BC=4，进而求出BM的长度。
（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，分类讨论计算。