题目内容
已知△ABC,
(1)如图1,若D点是△ABC内任一点,BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.
(2)若D点是△ABC外一点,位置如图2所示.BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.
(3)若D点是△ABC外一点,位置如图3所示.BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.

(1)如图1,若D点是△ABC内任一点,BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.
(2)若D点是△ABC外一点,位置如图2所示.BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.
(3)若D点是△ABC外一点,位置如图3所示.BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线.则∠D、∠A的关系为______.

(1):∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠DBC=
∠ABC,∠DCB=
∠ACB,
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-
(∠ABC+∠ACB)=180°-
(180°-∠A)=90°+
∠A,
∴∠BDC=90°+
∠A,
即∠D=90°+
∠A.
(2):∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=
∠EBC,∠BCD=
∠BCF,
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=
(∠EBC+∠BCD)=
(180°+∠A)=90°+
∠A,
在△DBC中∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A,即∠D=90°-
∠A.
(3)∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线,
∴∠1=∠DBC=
∠ABC,∠2=∠DCE=
(∠A+∠ABC),
∵∠ACE是△ABC的外角,
∴∠ACE=∠A+∠ABC,
∵∠DCE是△BCD的外角,
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=
∠ACE-
∠ABC
=
(∠A+∠ABC)-
∠ABC
=
∠A.
故答案为:∠D=90°+
∠A;∠D=90°-
∠A;∠D=
∠A.
∴∠DBC=
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∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-
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∴∠BDC=90°+
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即∠D=90°+
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(2):∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=
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∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=
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在△DBC中∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)=180°-(90°+
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(3)∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线,
∴∠1=∠DBC=
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∵∠ACE是△ABC的外角,
∴∠ACE=∠A+∠ABC,
∵∠DCE是△BCD的外角,
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
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故答案为:∠D=90°+
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