Question

已知△ABC，
（1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线．则∠D、∠A的关系为______．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．BD、CD分别为∠FBC、∠ECB的角平分线．则∠D、∠A的关系为______．
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线．则∠D、∠A的关系为______．

Answer 1

（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BDC=90°+

1

2

∠A，
即∠D=90°+

1

2

∠A．

（2）：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=

1

2

∠EBC，∠BCD=

1

2

∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=

1

2

（∠EBC+∠BCD）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A，即∠D=90°-

1

2

∠A．

（3）∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，
∴∠1=∠DBC=

1

2

∠ABC，∠2=∠DCE=

1

2

（∠A+∠ABC），
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE-∠DBC
=∠DCE-∠1
=

1

2

∠ACE-

1

2

∠ABC
=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A．
故答案为：∠D=90°+

1

2

∠A；∠D=90°-

1

2

∠A；∠D=

1

2

∠A．